Tổng hai lập phương là gì? Cách vận dụng giải bài tập – VOH

Tổng hai lập phương là gì? Cách vận dụng giải bài tập – VOH

Duới đây là các thông tin và kiến thức về Tổng hai lập phương hot nhất hiện nay được bình chọn bởi người dùng

Tổng hai lập phương là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Vậy cách vận dụng tổng hai lập phương để giải quyết bài toán như thế nào? Các kỹ thuật nào sẽ được sử dụng để giải quyết bài toán đó? Để trả lời các câu hỏi trên, chúng ta hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu thông qua bài viết dưới đây nhé.

1. Tổng hai lập phương là gì?

Với A và B là các biểu thức tùy ý ta có:

*Phát biểu tổng hai lập phương bằng lời: Tổng hai lập phương của hai biểu thức bằng tổng của hai biểu thức, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Lưu ý: A2 – AB + B2 được gọi là bình phương thiếu của hiệu A – B.

Ví dụ:Viết dưới dạng tích biểu thức x3 + 8

2. Cùng giải bài tập tổng hai lập phương

Bài 1: Rút gọn biểu thức

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

b) (x + 4)(x2 – x + 7) – (x3 + 3×2 + 3x + 13) – 26

c) (a – b + 1)[a2 + b2 + ab – (a + 2b) + 1] – (a3 + 1)

ĐÁP ÁNa) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = (x+3)(x2 – 3x + 32) – (54 + x3) = (x3 + 33 ) – (54 + x3) = 33 – 54 = 27 – 54 = -27

b) (x + 4)(x2 – x + 7) – (x3 + 3×2 + 3x + 13) – 26 = ((x +1 ) + 3)[(x + 1)2 – 3(x + 1) + 32 ] – (x +1)3 – 26

Xem thêm  Tả quang cảnh sân trường em trong giờ ra chơi lớp 6 - Tip.edu.vn

= [(x + 1)3 + 33] – (x +1)3 – 26

= 33 – 26 = 27 – 26 =1

c) (a – b + 1)[a2 + b2 + ab – (a + 2b) + 1] – (a3 + 1) = [a+(1 – b)][a2 – a(1 – b) + (1 – b)2 ] – (a3 + 1)

= [a3 + (1 – b)3] – (a3 + 1)

= (1 – b)3 – 1

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a) (4x – 2)3 + 8

b) a6 – b6

c) (a + b)3 + (a – b)3

ĐÁP ÁN

a) (4x – 2)3 + 8 = (4x – 2)3 + 23

Xem thêm: Viếng lăng Bác – tác giả, nội dung, bố cục, tóm tắt, dàn ý

= [(4x – 2) + 2][(4x – 2)2 – 2(4x – 2)+ 22]

= 4x[(4x – 2)2 – 2(4x – 2)+ 4]

= 16x[(2x – 1)2 – 2x +2]

b) a6 – b6

= (a2)3 – (b2)3

= (a2 – b2 )(a4 – a2b2 + b4)

= (a – b)(a + b)(a4 – a2b2 + b4)

c) (a + b)3 + (a – b)3

= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a – b) + (a – b)2]

= 2a[(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab +b2)]

= 2a( a2 + 3b2)

Bài 3: Cho x, y, a và b thõa mãn các đẳng thức sau: x + y = a + b (1) và x2 + y2 = a2 + b2 (2)

Chứng minh rằng : x3 + y3 = a3 + b3

ĐÁP ÁN

Ta có:

x + y = a + b ⇒ ( x + y)2 = (a + b)2

⇔ x2 + 2xy + y2 = a2 + 2ab + b2

Mà từ (2) ta có : x2 + y2 = a2 + b2 ⇒ 2xy = 2ab ⇔ xy = ab.

Mặc khác:

(3)

Do x + y = a + b ; x2 + y2 = a2 + b2 và xy = ab. (4)

Từ (3) và (4) ta có : x3 + y3 = a3 + b3 (điều phải chứng minh).

Bài 4: Cho các số a, b, m và n thõa mãn các đẳng thức sau: a + b = m và a – b = n.

Xem thêm: Ảnh trai đẹp Hàn Quốc – Kiến Thức Vui

Xem thêm  LỄ CÚNG SAO GIẢI HẠN CHO TỪNG TUỔI NĂM 2022

Hãy tính giá trị biểu thức A = a3 + b3 theo m và n.

ĐÁP ÁN

Ta có:

Từ đây biểu thức sẽ được biến đổi như sau:

a3 + b3

= (a+b)(a2 – ab +b2)

= (a+b)[(a2 – 2ab + b2)+ ab]

= (a+b)((a – b)2 + ab)

= m(n2 + (m2 – n2))

= m(3n2 – m2)

Vậy ta có:

Bài 5: Cho các biến x, y thõa mãn x+y =1. Hãy tính giá trị biểu thức sau: B = x3 + y3 + 3xy

ĐÁP ÁN

Ta có :

x3 + y3 + 3xy

= (x + y)(x2 – xy + y2) + 3xy

= 1.(x2 – xy + y2 ) + 3xy

= x2 + 2xy + y2

= (x+y) 2

= 1

Bài 6: Cho các số x, y, a và b thõa mãn : x + y = a và x2 + y2 = b. Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo a và b

ĐÁP ÁN

Ta có:

2xy = (x + y)2 – (x2 + y2 ) = a2 – b

Xem thêm: Những bài văn mẫu Tả cái bàn học của em lớp 5 (Chọn lọc)

(1)

Mà : x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thõa mãn a + b + c = 0 thì ta có đẳng thức a3 + b3 + c3 = 3abc

ĐÁP ÁN

Ta có:

a3 + b3 + c3 – 3abc

= (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc

= (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)((a + b)2 – c(a + b) + c2) -3ab(a + b + c)

= (a+b+c)( a2 + 2ab + b2 – (ac + bc) + c2 – 3ab)

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

Vậy suy ra : a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

Mà theo giả thuyết : a + b +c = 0

Do đó : a3 + b3 + c3 = 3abc (điều phải chứng minh)

* Chú ý: đẳng thức a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) có thể xem như là một hằng đẳng thức đáng nhớ, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Trường hợp a + b + c = 0 là một trường hợp đặc biệt và đây cũng chính là điểm khai thác để có thể giải các bài toán phức tạp một cách dễ dàng. Bài 8 là một ví dụ minh họa cách áp dụng đẳng thức trên để giải một bài toán phức tạp.

Xem thêm  Top 4 mẫu Phân tích nhân vật Chí Phèo sau khi ra tù lớp 11 hay

Bài 8: Viết biểu thức sau dưới dạng tích: A = (2 – x)3 + (x – y)3 + (y – 2)3

ĐÁP ÁN

Áp dụng bài 7 ta có:

Ta nhận thấy:

(2 – x) + (x – y) + (y – 2) = 0

suy ra: (2 – x)3 + (x – y)3 + (y – 2)3 = 3(2 – x)(x – y)(y -2 )

Trên đây là một số dạng bài tập liên quan đến tổng hai lập phương và cách phân tích bài toán để có thể áp dụng tổng hai lập phương vào giải quyết vấn đề một cách dễ dàng. Hy vọng qua các bài tập trên sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Bản quyền nội dung thuộc wonderkidsmontessori.edu.vn

Bài viết liên quan

Tri Thức Cộng Đồng chuyên viết luận văn thạc sĩ tiếng Anh
Học Viện PMS – Đơn vị đào tạo 5S-Kaizen mang tính thực tiễn cao
Cách chỉnh độ rộng của dòng và cột trong word
Cách chỉnh độ rộng của dòng và cột trong word
Từ điển Thành ngữ Tiếng Việt – em ngã, chị nâng là gì?
Từ điển Thành ngữ Tiếng Việt – em ngã, chị nâng là gì?
Vật Lí 8 Bài 20: Nguyên tử, phân tử chuyển động hay đứng yên?
Vật Lí 8 Bài 20: Nguyên tử, phân tử chuyển động hay đứng yên?
Bảng chữ cái Tiếng Thái – Gia sư Tâm Tài Đức
Bảng chữ cái Tiếng Thái – Gia sư Tâm Tài Đức
Bộc trực là gì? 6 biểu hiện của người có tính bộc trực – CareerLink
Bộc trực là gì? 6 biểu hiện của người có tính bộc trực – CareerLink
Danh sách các trường THCS ở Hà Nội nên cho con học
Danh sách các trường THCS ở Hà Nội nên cho con học