Duới đây là các thông tin và kiến thức về Tổng hai lập phương hot nhất hiện nay được bình chọn bởi người dùng
Tổng hai lập phương là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Vậy cách vận dụng tổng hai lập phương để giải quyết bài toán như thế nào? Các kỹ thuật nào sẽ được sử dụng để giải quyết bài toán đó? Để trả lời các câu hỏi trên, chúng ta hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu thông qua bài viết dưới đây nhé.
1. Tổng hai lập phương là gì?
Với A và B là các biểu thức tùy ý ta có:
*Phát biểu tổng hai lập phương bằng lời: Tổng hai lập phương của hai biểu thức bằng tổng của hai biểu thức, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.
Lưu ý: A2 – AB + B2 được gọi là bình phương thiếu của hiệu A – B.
Ví dụ:Viết dưới dạng tích biểu thức x3 + 8
2. Cùng giải bài tập tổng hai lập phương
Bài 1: Rút gọn biểu thức
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
b) (x + 4)(x2 – x + 7) – (x3 + 3×2 + 3x + 13) – 26
c) (a – b + 1)[a2 + b2 + ab – (a + 2b) + 1] – (a3 + 1)
ĐÁP ÁNa) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = (x+3)(x2 – 3x + 32) – (54 + x3) = (x3 + 33 ) – (54 + x3) = 33 – 54 = 27 – 54 = -27
b) (x + 4)(x2 – x + 7) – (x3 + 3×2 + 3x + 13) – 26 = ((x +1 ) + 3)[(x + 1)2 – 3(x + 1) + 32 ] – (x +1)3 – 26
= [(x + 1)3 + 33] – (x +1)3 – 26
= 33 – 26 = 27 – 26 =1
c) (a – b + 1)[a2 + b2 + ab – (a + 2b) + 1] – (a3 + 1) = [a+(1 – b)][a2 – a(1 – b) + (1 – b)2 ] – (a3 + 1)
= [a3 + (1 – b)3] – (a3 + 1)
= (1 – b)3 – 1
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
a) (4x – 2)3 + 8
b) a6 – b6
c) (a + b)3 + (a – b)3
ĐÁP ÁN
a) (4x – 2)3 + 8 = (4x – 2)3 + 23
Xem thêm: Viếng lăng Bác – tác giả, nội dung, bố cục, tóm tắt, dàn ý
= [(4x – 2) + 2][(4x – 2)2 – 2(4x – 2)+ 22]
= 4x[(4x – 2)2 – 2(4x – 2)+ 4]
= 16x[(2x – 1)2 – 2x +2]
b) a6 – b6
= (a2)3 – (b2)3
= (a2 – b2 )(a4 – a2b2 + b4)
= (a – b)(a + b)(a4 – a2b2 + b4)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a – b) + (a – b)2]
= 2a[(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab +b2)]
= 2a( a2 + 3b2)
Bài 3: Cho x, y, a và b thõa mãn các đẳng thức sau: x + y = a + b (1) và x2 + y2 = a2 + b2 (2)
Chứng minh rằng : x3 + y3 = a3 + b3
ĐÁP ÁN
Ta có:
x + y = a + b ⇒ ( x + y)2 = (a + b)2
⇔ x2 + 2xy + y2 = a2 + 2ab + b2
Mà từ (2) ta có : x2 + y2 = a2 + b2 ⇒ 2xy = 2ab ⇔ xy = ab.
Mặc khác:
(3)
Do x + y = a + b ; x2 + y2 = a2 + b2 và xy = ab. (4)
Từ (3) và (4) ta có : x3 + y3 = a3 + b3 (điều phải chứng minh).
Bài 4: Cho các số a, b, m và n thõa mãn các đẳng thức sau: a + b = m và a – b = n.
Xem thêm: Ảnh trai đẹp Hàn Quốc – Kiến Thức Vui
Hãy tính giá trị biểu thức A = a3 + b3 theo m và n.
ĐÁP ÁN
Ta có:
Từ đây biểu thức sẽ được biến đổi như sau:
a3 + b3
= (a+b)(a2 – ab +b2)
= (a+b)[(a2 – 2ab + b2)+ ab]
= (a+b)((a – b)2 + ab)
= m(n2 + (m2 – n2))
= m(3n2 – m2)
Vậy ta có:
Bài 5: Cho các biến x, y thõa mãn x+y =1. Hãy tính giá trị biểu thức sau: B = x3 + y3 + 3xy
ĐÁP ÁN
Ta có :
x3 + y3 + 3xy
= (x + y)(x2 – xy + y2) + 3xy
= 1.(x2 – xy + y2 ) + 3xy
= x2 + 2xy + y2
= (x+y) 2
= 1
Bài 6: Cho các số x, y, a và b thõa mãn : x + y = a và x2 + y2 = b. Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo a và b
ĐÁP ÁN
Ta có:
2xy = (x + y)2 – (x2 + y2 ) = a2 – b
Xem thêm: Những bài văn mẫu Tả cái bàn học của em lớp 5 (Chọn lọc)
(1)
Mà : x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thõa mãn a + b + c = 0 thì ta có đẳng thức a3 + b3 + c3 = 3abc
ĐÁP ÁN
Ta có:
a3 + b3 + c3 – 3abc
= (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)((a + b)2 – c(a + b) + c2) -3ab(a + b + c)
= (a+b+c)( a2 + 2ab + b2 – (ac + bc) + c2 – 3ab)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
Vậy suy ra : a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
Mà theo giả thuyết : a + b +c = 0
Do đó : a3 + b3 + c3 = 3abc (điều phải chứng minh)
* Chú ý: đẳng thức a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) có thể xem như là một hằng đẳng thức đáng nhớ, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Trường hợp a + b + c = 0 là một trường hợp đặc biệt và đây cũng chính là điểm khai thác để có thể giải các bài toán phức tạp một cách dễ dàng. Bài 8 là một ví dụ minh họa cách áp dụng đẳng thức trên để giải một bài toán phức tạp.
Bài 8: Viết biểu thức sau dưới dạng tích: A = (2 – x)3 + (x – y)3 + (y – 2)3
ĐÁP ÁN
Áp dụng bài 7 ta có:
Ta nhận thấy:
(2 – x) + (x – y) + (y – 2) = 0
suy ra: (2 – x)3 + (x – y)3 + (y – 2)3 = 3(2 – x)(x – y)(y -2 )
Trên đây là một số dạng bài tập liên quan đến tổng hai lập phương và cách phân tích bài toán để có thể áp dụng tổng hai lập phương vào giải quyết vấn đề một cách dễ dàng. Hy vọng qua các bài tập trên sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
Bản quyền nội dung thuộc wonderkidsmontessori.edu.vn
Bài viết liên quan