Tổng hợp lý thuyết và bài tập về cực trị của hàm số – Kiến Guru

Tổng hợp các kiến thức về cực trị của hàm số và các cách giải bài tập chi tiết sau đây cung cấp cho các bạn học sinh những lý thuyết cần thiết cho môn Toán. Mời các bạn học sinh cùng theo dõi và tham khảo để có thể hiểu được môn học này một cách chi tiết và dễ nhớ nhất nhé.

I. Kiến thức cần nhớ về cực trị của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số y= f ( x ) liên tục trên khoảng ( a;b ) và điểm x0 thuộc ( a;b )

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) < f ( x0 ) ∀x (x0-h; x0+h ), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x0

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) > f ( x0 ) ∀x (x0-h; x0+h ), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0

Chú ý:

Nếu y= f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( a;b ) và đạt giá trị cực trị tại x0 ϵ ( a;b ) thì fʹ x0 =0

2. Điều kiện đủ để hàm số đó có cực trị

Định lý 1: Cho hàm số y= f x liên tục trên khoảng K= x0-h; x0+h ( h<0 ) và có đạo hàm trên K hoặc trên K x0 .

• Nếu giá trị đạo hàm của hàm số y= f x lớn hơn 0 với mọi x thuộc khoảng (x0-h; x0 ) và giá trị đạo của hàm số y= f x nhỏ hơn 0 với mọi x thuộc khoảng (x0 ; x0+h ) thì hàm số nhận x0 là điểm cực đại của nó.
• Nếu giá trị đạo hàm của hàm số y= f x nhỏ hơn 0 với mọi x thuộc khoảng (x0-h; x0 ) và giá trị đạo hàm của hàm số y= f x lớn hơn 0 với mọi x thuộc khoảng (x0 ; x0+h ) thì hàm số nhận x0 là điểm cực tiểu của nó.

Tại những điểm mà đạo hàm của hàm số không xác định, hàm số có thể đạt cực trị.

Định lý 2 : Giả sử như hàm số y= f x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x0-h; x0+h ( h>0 )

Khi giá trị đạo hàm cấp 1 của x0=0 và giá trị đạo hàm cấp 2 của x0>0 thì hàm số nhận x0 là điểm cực tiểu.

Khi giá trị đạo hàm cấp 1 của x0=0 và giá trị đạo hàm cấp 2 của x0<0 thì hàm số nhận x0 là điểm cực đại.

3. Quy tắc để tìm cực trị của hàm số

Phương pháp tìm cực trị của hàm số: Có thể sử dụng một trong hai quy tắc sau:

Quy tắc 1: ( Từ định lý 1 suy ra )

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số đó.

Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số đó,và tìm các điểm tại hàm số bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Dựa vào các giá trị trên, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận

• Điểm cực tiểu của hàm số là các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số đó đổi dấu từ âm sang dương.
• Điểm cực tiểu của hàm số là các điểm tại đó đạo hàm của hàm số đó đổi dấu từ dương sang âm.

II. Ứng dụng trong giải bài tập cực trị của hàm số SGK

1. Bài 1 SGK trang 18

Dựa vào Quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số, tìm cực trị của các hàm số sau:

Hướng dẫn giải:

Xem thêm: Nguồn gốc dân ca Quan họ – Quan họ Bắc Ninh

Ta có được bảng biến thiên của hàm số dưới đây:

Tại x = -3 hàm số đạt cực đại và giá trị cực đại là y = 71

Tại x = 2, hàm số đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu là y = – 54

Ta có được bảng biến thiên của hàm số dưới đây

Tại x = 0, hàm số đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu là y = -3

Xem thêm: Nguồn gốc dân ca Quan họ – Quan họ Bắc Ninh

Ta có được bảng biến thiên của hàm số dưới đây:

Tại x = -1, hàm số đạt cực đại và giá trị cực đại là y = -2

Tại x= 1, hàm số đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu là y = 2

Tập xác định: D

Khi y’=0 => Có 3 giá trị x với x=0, x=3/5, x=1

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số này đạt cực đại tại x = 3/5, ycđ =y(3/5) = 108/3125 ;

Suy ra hàm số này đạt cực tiểu tại x = 1 , yct = y(1) = 0

e) Tập xác định : D = R.

Bảng biến thiên : Hàm số này đạt cực tiểu tại x=1/2; y = √3/2

2. Bài 2 SGK trang 18

Xem thêm: Tràng giang – Ngữ văn lớp 11 – VietJack.com

Hãy Áp dụng quy tắc II và tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

Hướng dẫn giải:

a) y’ = 4×3 – 4x = 4x(x2 – 1) ; y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = ±1.

y” = 12×2 – 4 . y”(0) = -4 < 0 nên suy ra hàm số sẽ đạt giá trị cực đại tại x = 0, ycđ = y(0) = 1. y”(±1) = 8 > 0

=> hàm số sẽ đạt được giá trị cực tiểu tại x =± 1 với yct = y(±1) = 0.

b) y’ = 2cos2x – 1 ;

y” = -4sin2x .

3. Bài 3 SGK trang 18

Hãy chứng minh rằng hàm số y = không có đạo hàm tại x = 0 nhưng mà vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Đặt y =f(x) = . Giả sử x > 0, ta có :

Suy ra hàm số không có giá trị đạo hàm tại x = 0 . Nhưng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 vì f(x) = ≥ 0 =f(0) ∀x ∈ R

4. Bài 4 SGK trang 18

Hãy chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x3 – mx2 – 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và có một điểm cực tiểu.

Hướng dẫn giải:

y’ = 3×2 – 2mx – 2 , ∆’ = m2 + 6 > 0 nên y’ = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt và y’ sẽ đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số đó có một cực đại và một cực tiểu.

5. Bài 5 SGK trang 18

Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5/3a2x3 + 2ax2 – 9x + b đều là những số dương và x0= -5/9 là điểm cực đại.

Hướng dẫn giải:

Ta có a = 0 => hàm số sẽ trở thành y = -9x + b.

– Xét a # 0. Ta có : y’ = 5a2x2 + 4ax – 9 ; y’= 0

⇔ x=-1/α hoặc x= -9/5α

Xem thêm: Công thức tính diện tích hình trụ, ví dụ và lời giải chi tiết – Thủ thuật

– Ta có a < 0 có bảng biến thiên như sau :

Theo giả thiết x0= -5/9 chính là điểm cực đại nên suy ra 1/α = -5/9 ⇔α =9/5. Yêu cầu của bài toán có:

– Với a > 0 ta có bảng biến thiên như sau:

Vì x0= -5/9 là điểm cực đại nên

Yêu cầu của bài toán có:

Suy ra các giá trị a, b cần tìm là:

6. Bài 6 SGK trang 18

Hãy xác định giá trị của tham số m để hàm số này đạt cực đại tại x = 2.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định : D =R {-m}

Nếu như hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0 ⇔ m2 + 4m + 3 = 0 ⇔ m=-1 hoặc m=-3

-Có m = -1, ta có :

Suy ra x=0 hoặc x=2.

Ta có được bảng biến thiên dưới đây:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x = 2.

– Với m = -3, ta có:

Suy ra x=2 hoặc x=4

Ta có được bảng biến thiên dưới đây :

Từ bảng biến thiên trên ta thấy hàm số sẽ đạt cực đại tại x = 2.

Vậy m = -3 chính là giá trị cần tìm.

Trên đây là tổng hợp toàn bộ kiến thức về cực trị của hàm số. Các bạn học sinh có thể tham khảo để có được kiến thức vững chắc nhất, đồng thời phát triển môn học theo mong muốn của bản thân và đạt được cao. Ngoài ra, các bạn có thể tìm đọc thêm các bài viết hướng dẫn giải các nội dung môn học khác.

Chúc các bạn học sinh đạt kết quả tốt.