ĐỊNH LÝ COSIN, ĐỊNH LÝ SIN VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN

Tam giác $ABC$ bất kỳ, ta có:

Độ dài các cạnh là $a=BC, b=CA, c=AB$

Các góc của tam giác được ký hiệu là $A, B, C$

Nửa chu vi $p=dfrac{a+b+c}{2}$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là $r$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R$

1. Định lý Sin

$$mathbf{dfrac{a}{sinA}=dfrac{b}{sinB}=dfrac{c}{sinC}=2R}$$

2. Định lý Cosin

$$mathbf{a^2=b^2+c^2-2bccosA}$$

$$mathbf{b^2=a^2+c^2-2accosB}$$

$$mathbf{c^2=a^2+b^2-2abcosC}$$

Hệ quả của định lý Cosin: Công thức tính góc từ độ dài ba cạnh của tam giác

$$mathbf{cosA=dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$$

$$mathbf{cosB=dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}$$

$$mathbf{cosC=dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$$

3. Công thức trung tuyến

$$mathbf{{m_a}^2=dfrac{b^2+c^2}{2}-dfrac{a^2}{4}}$$

$$mathbf{{m_b}^2=dfrac{c^2+a^2}{2}-dfrac{b^2}{4}}$$

Xem thêm: Xu cà na là gì? Giải thích ý nghĩa của trend “xu cà na” trên MXH

$$mathbf{{m_c}^2=dfrac{a^2+b^2}{2}-dfrac{c^2}{4}}$$

Trong đó ${m_a}, {m_b}, {m_c}$ lần lượt là độ dài trung tuyến kẻ từ $A, B, C$

4. Các công thức tính diện tích tam giác

$$mathbf{S=dfrac{1}{2}a{h_a}=dfrac{1}{2}b{h_b}= dfrac{1}{2}c{h_c}}$$

$$mathbf{S=dfrac{1}{2}absinC=dfrac{1}{2}acsinB=dfrac{1}{2}bcsinA}$$

$$mathbf{S=dfrac{abc}{4R}}$$

$$mathbf{S=pr}$$

$$mathbf{S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$

Trong đó ${h_a}, {h_b}, {h_c}$ lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ $A, B, C$

5. Ứng dụng giải bài toán

Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $widehat{A}=100^o$. Giả sử $P$ là một điểm trong tam giác sao cho $widehat{PBC}=20^o, widehat{PCB}=30^o$. Chứng minh rằng $BP=BA$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Sin cho tam giác $ABC$, ta có: $dfrac{BC}{sinA}=dfrac{AB}{sinC}$ hay

$$BC=ABdfrac{sin100^o}{sin40^o}=2ABsin50^o$$

Lại áp dụng định lý Sin cho tam giác $BPC$, ta có: $dfrac{BP}{sin{widehat{BCP}}}=dfrac{AB}{sin{widehat{BPC}}}$ hay

$$BP+BCdfrac{sin30^o}{sin130^o}=2ABsin50^odfrac{sin30^o}{sin130^o}=2ABsin30^o=AB$$

Vậy $BP=BA$

Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $widehat{A}=80^o$. Trên hai cạnh $BC$ và $AC$ lấy điểm $D$ và $E$ sao cho $widehat{BAD}=50^o$, $widehat{ABE}=30^o$. Tính $BED$

Hướng dẫn giải:

Giả sử $AD$ cắt $BE$ tại $O$. Ta có $widehat{AOB}=100^o, widehat{BDA}=80^o, widehat{CBE}=20^o, widehat{AEB}=70^o, widehat{CAD}=30^o$

Áp dụng định lý Sin cho tam giác $ODB$, ta có: $dfrac{OD}{OB}=dfrac{sin{20^o}}{sin{80^o}}$

Xem thêm: Lập dàn ý cấu tạo của bài văn tả người lớp 5 (15 Mẫu)

Tương tự: $dfrac{OB}{OA}=dfrac{sin{50^o}}{sin{30^o}}$, $dfrac{OA}{OE}=dfrac{sin{70^o}}{sin{30^o}}$

Do đó: $dfrac{OD}{OE}= dfrac{OD}{OB} dfrac{OB}{OA} dfrac{OA}{OE}=dfrac{sin{20^o}}{sin{80^o}}dfrac{sin{50^o}}{sin{30^o}}dfrac{sin{70^o}}{sin{30^o}}=1$

Suy ra tam giác $ODE$ cân tại $O$ mà $widehat{EOD}=widehat{AOB}=100^o$ nên $widehat{BED}=40^o$

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn bán kính bằng $3$, biết $widehat{A}=30^o, widehat{B}=45^o$. Tính độ dài trung tuyến kẻ từ $A$ và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Hướng dẫn giải:

Ta có $widehat{C}=180^o-widehat{A}-widehat{B}=180^o-30^o-45^o=105^o$

Theo định lý Sin, ta có:

$a=2RsinA=2.3.sin30^o=3$

$b=2RsinB=2.3.sin45^o=3sqrt{2}$

$c=2RsinC=2.3.sin105^oapprox{5,796}$

Theo công thức đường trung tuyến, ta có:

${m_a}^2=dfrac{b^2+c^2}{2}-dfrac{a^2}{4}=dfrac{{3sqrt{2}}^2+5,796^2}{2}-dfrac{3^2}{4}=23,546808approx{23,547}$

Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có:

${S_{ABC}}=pr=dfrac{1}{2}bcsinA rightarrow{}r=dfrac{bcsinA}{2p}=dfrac{3sqrt{2}.5,796.sin30^o}{3+3sqrt{2}+5,796}approx{0,943}$

Bài toán 4: Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $AB=3, BC=8, coswidehat{AMB}=dfrac{5sqrt{13}}{26}$. Tính độ dài cạnh $AC$ và góc lớn nhất của tam giác $ABC$

Hướng dẫn giải:

$BC=8rightarrow{}BM=4$

Xem thêm: Top 50 Phân tích Cảnh ngày hè (hay nhất) – VietJack.com

Đặt $AM=x$

Theo định lý Cosin, ta có:

$coswidehat{AMB}=dfrac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM.BM}$

$iff{}dfrac{5sqrt{13}}{26}=dfrac{x^2+16-9}{2.4.x}$

$iff{}13x^2-20sqrt{13}x-91=0$

$iff{}left[begin{array}{I}{x=sqrt{13}\x=dfrac{7sqrt{13}}{13}}end{array}right.$

Theo công thức đường trung tuyến, ta có:

$AM^2=dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{2.AB.AC}$

Trường hợp 1: Nếu $x=sqrt{13}rightarrow{}13=dfrac{2(3^2+AC^2)-8^2}{4}rightarrow{}AC=7$

Ta có: $BC>AC>ABrightarrow{} widehat{A}$ lớn nhất

Theo định lý Cosin, ta có:

$cosA=dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=dfrac{-1}{7}$

Suy ra $widehat{A}approx{98^o12′}$

Trường hợp 2: Nếu $x=dfrac{7sqrt{13}}{13}rightarrow{}dfrac{49}{13}=dfrac{2(3^2+AC^2)-64}{4}rightarrow{}AC=sqrt{dfrac{397}{13}}$

Ta có $BC>AC>ABrightarrow{}widehat{A}$ lớn nhất

Theo định lý Cosin, ta có:

$cosA=dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=dfrac{-53}{sqrt{5161}}$

Suy ra $widehat{A}approx{137^o32′}$