ĐỊNH LÝ COSIN, ĐỊNH LÝ SIN VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN

ĐỊNH LÝ COSIN, ĐỊNH LÝ SIN VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN

Trong bài viết này chúng tôi sẽ giúp các bạn tìm hiểu thông tin và kiến thức về định lý sin cos hot nhất được tổng hợp bởi Wonderkids

29 1

Tam giác $ABC$ bất kỳ, ta có:

Độ dài các cạnh là $a=BC, b=CA, c=AB$

Các góc của tam giác được ký hiệu là $A, B, C$

Nửa chu vi $p=dfrac{a+b+c}{2}$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là $r$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R$

1. Định lý Sin

$$mathbf{dfrac{a}{sinA}=dfrac{b}{sinB}=dfrac{c}{sinC}=2R}$$

2. Định lý Cosin

$$mathbf{a^2=b^2+c^2-2bccosA}$$

$$mathbf{b^2=a^2+c^2-2accosB}$$

$$mathbf{c^2=a^2+b^2-2abcosC}$$

Hệ quả của định lý Cosin: Công thức tính góc từ độ dài ba cạnh của tam giác

$$mathbf{cosA=dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$$

$$mathbf{cosB=dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}$$

$$mathbf{cosC=dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$$

3. Công thức trung tuyến

$$mathbf{{m_a}^2=dfrac{b^2+c^2}{2}-dfrac{a^2}{4}}$$

$$mathbf{{m_b}^2=dfrac{c^2+a^2}{2}-dfrac{b^2}{4}}$$

Xem thêm: Tác dụng của phép đối là gì? +10 ví dụ về phép đối rõ nhất – TT Mobile

$$mathbf{{m_c}^2=dfrac{a^2+b^2}{2}-dfrac{c^2}{4}}$$

Trong đó ${m_a}, {m_b}, {m_c}$ lần lượt là độ dài trung tuyến kẻ từ $A, B, C$

4. Các công thức tính diện tích tam giác

$$mathbf{S=dfrac{1}{2}a{h_a}=dfrac{1}{2}b{h_b}= dfrac{1}{2}c{h_c}}$$

$$mathbf{S=dfrac{1}{2}absinC=dfrac{1}{2}acsinB=dfrac{1}{2}bcsinA}$$

$$mathbf{S=dfrac{abc}{4R}}$$

$$mathbf{S=pr}$$

$$mathbf{S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$

Trong đó ${h_a}, {h_b}, {h_c}$ lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ $A, B, C$

5. Ứng dụng giải bài toán

Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $widehat{A}=100^o$. Giả sử $P$ là một điểm trong tam giác sao cho $widehat{PBC}=20^o, widehat{PCB}=30^o$. Chứng minh rằng $BP=BA$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Sin cho tam giác $ABC$, ta có: $dfrac{BC}{sinA}=dfrac{AB}{sinC}$ hay

$$BC=ABdfrac{sin100^o}{sin40^o}=2ABsin50^o$$

Lại áp dụng định lý Sin cho tam giác $BPC$, ta có: $dfrac{BP}{sin{widehat{BCP}}}=dfrac{AB}{sin{widehat{BPC}}}$ hay

Xem thêm  18+ Đề thi trắc nghiệm online Môn Vật Lý Lớp 6 tháng 3/2023

$$BP+BCdfrac{sin30^o}{sin130^o}=2ABsin50^odfrac{sin30^o}{sin130^o}=2ABsin30^o=AB$$

Vậy $BP=BA$

Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $widehat{A}=80^o$. Trên hai cạnh $BC$ và $AC$ lấy điểm $D$ và $E$ sao cho $widehat{BAD}=50^o$, $widehat{ABE}=30^o$. Tính $BED$

Hướng dẫn giải:

Giả sử $AD$ cắt $BE$ tại $O$. Ta có $widehat{AOB}=100^o, widehat{BDA}=80^o, widehat{CBE}=20^o, widehat{AEB}=70^o, widehat{CAD}=30^o$

Áp dụng định lý Sin cho tam giác $ODB$, ta có: $dfrac{OD}{OB}=dfrac{sin{20^o}}{sin{80^o}}$

Xem thêm: Tổng hợp lý thuyết và bài tập bài 37 trang 68 sgk toán 7 tập 1

Tương tự: $dfrac{OB}{OA}=dfrac{sin{50^o}}{sin{30^o}}$, $dfrac{OA}{OE}=dfrac{sin{70^o}}{sin{30^o}}$

Do đó: $dfrac{OD}{OE}= dfrac{OD}{OB} dfrac{OB}{OA} dfrac{OA}{OE}=dfrac{sin{20^o}}{sin{80^o}}dfrac{sin{50^o}}{sin{30^o}}dfrac{sin{70^o}}{sin{30^o}}=1$

23

Suy ra tam giác $ODE$ cân tại $O$ mà $widehat{EOD}=widehat{AOB}=100^o$ nên $widehat{BED}=40^o$

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn bán kính bằng $3$, biết $widehat{A}=30^o, widehat{B}=45^o$. Tính độ dài trung tuyến kẻ từ $A$ và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Hướng dẫn giải:

Ta có $widehat{C}=180^o-widehat{A}-widehat{B}=180^o-30^o-45^o=105^o$

Theo định lý Sin, ta có:

$a=2RsinA=2.3.sin30^o=3$

$b=2RsinB=2.3.sin45^o=3sqrt{2}$

$c=2RsinC=2.3.sin105^oapprox{5,796}$

Theo công thức đường trung tuyến, ta có:

${m_a}^2=dfrac{b^2+c^2}{2}-dfrac{a^2}{4}=dfrac{{3sqrt{2}}^2+5,796^2}{2}-dfrac{3^2}{4}=23,546808approx{23,547}$

24 1

Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có:

${S_{ABC}}=pr=dfrac{1}{2}bcsinA rightarrow{}r=dfrac{bcsinA}{2p}=dfrac{3sqrt{2}.5,796.sin30^o}{3+3sqrt{2}+5,796}approx{0,943}$

25 1

Bài toán 4: Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $AB=3, BC=8, coswidehat{AMB}=dfrac{5sqrt{13}}{26}$. Tính độ dài cạnh $AC$ và góc lớn nhất của tam giác $ABC$

Hướng dẫn giải:

$BC=8rightarrow{}BM=4$

Xem thêm: Trend là gì? Xu hướng tìm kiếm, HOT Trend nổi bật nhất vừa qua

Đặt $AM=x$

Theo định lý Cosin, ta có:

$coswidehat{AMB}=dfrac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM.BM}$

$iff{}dfrac{5sqrt{13}}{26}=dfrac{x^2+16-9}{2.4.x}$

$iff{}13x^2-20sqrt{13}x-91=0$

26 127 128 1

$iff{}left[begin{array}{I}{x=sqrt{13}\x=dfrac{7sqrt{13}}{13}}end{array}right.$

Theo công thức đường trung tuyến, ta có:

$AM^2=dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{2.AB.AC}$

Trường hợp 1: Nếu $x=sqrt{13}rightarrow{}13=dfrac{2(3^2+AC^2)-8^2}{4}rightarrow{}AC=7$

Ta có: $BC>AC>ABrightarrow{} widehat{A}$ lớn nhất

Xem thêm  Giải bài 39 vật lí 9: Tổng kết chương II: Điện từ học - Tech12h

Theo định lý Cosin, ta có:

$cosA=dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=dfrac{-1}{7}$

30 1

Suy ra $widehat{A}approx{98^o12′}$

Trường hợp 2: Nếu $x=dfrac{7sqrt{13}}{13}rightarrow{}dfrac{49}{13}=dfrac{2(3^2+AC^2)-64}{4}rightarrow{}AC=sqrt{dfrac{397}{13}}$

Ta có $BC>AC>ABrightarrow{}widehat{A}$ lớn nhất

Theo định lý Cosin, ta có:

$cosA=dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=dfrac{-53}{sqrt{5161}}$

31 1

Suy ra $widehat{A}approx{137^o32′}$

Bản quyền nội dung thuộc wonderkidsmontessori.edu.vn

Bài viết liên quan

Tri Thức Cộng Đồng chuyên viết luận văn thạc sĩ tiếng Anh
Học Viện PMS – Đơn vị đào tạo 5S-Kaizen mang tính thực tiễn cao
Cách chỉnh độ rộng của dòng và cột trong word
Cách chỉnh độ rộng của dòng và cột trong word
Từ điển Thành ngữ Tiếng Việt – em ngã, chị nâng là gì?
Từ điển Thành ngữ Tiếng Việt – em ngã, chị nâng là gì?
Vật Lí 8 Bài 20: Nguyên tử, phân tử chuyển động hay đứng yên?
Vật Lí 8 Bài 20: Nguyên tử, phân tử chuyển động hay đứng yên?
Bảng chữ cái Tiếng Thái – Gia sư Tâm Tài Đức
Bảng chữ cái Tiếng Thái – Gia sư Tâm Tài Đức
Bộc trực là gì? 6 biểu hiện của người có tính bộc trực – CareerLink
Bộc trực là gì? 6 biểu hiện của người có tính bộc trực – CareerLink
Danh sách các trường THCS ở Hà Nội nên cho con học
Danh sách các trường THCS ở Hà Nội nên cho con học