Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng chi tiết, đầy đủ – VOH

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng chi tiết, đầy đủ – VOH

Dưới đây là danh sách Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng hot nhất được tổng hợp bởi Wonderkids

Cấp số cộng là một trong nội dung mới đối với các bạn học sinh lớp 11. Cấp số cộng là nội dung quan trọng và xuất hiện nhiều trong đề thi và cả đề thi THPT quốc gia. Cấp số cộng là gì? Các bạn đã được học ở tiết trước. Trong bài này, chúng ta cùng hiểu về nội dung tiếp theo: Số hạng tổng quát của cấp số cộng.

1. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát:

vn = v1 + (n-1).d (với n ≥ 2)

trong đó: vn là số hạng thứ n của cấp số cộng

v1 là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu) của cấp số cộng

d là công sai của cấp số cộng

Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của dãy (vn):

Lời giải

Xét vn – vn-1 = 5 = const ⇒ (vn) là cấp số cộng có v1 = 4 và công sai d = 5.

Số hạng tổng quát là: vn = v1 + (n-1).d

⇔ vn = 4 + (n-1).5

⇔ vn = 4 + 5n – 5

⇔ vn = 5n – 1.

2. Một số nhận xét liên quan đến số hạng tổng quát của cấp số cộng

+ Nếu (vn) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi: vn = vn-1 + d (với n ≥ 2)

Chứng minh:

Ta có: v2 = v1 + d

v3 = v2 + d = v1 + 2d

v4 = v3 + d = v1 + 3d

v5 = v4 + d = v1 + 4d

….

vn = vn-1 + d = v1 + (n-1).d, với n ≥ 2

+ Cấp số cộng (vn) là một dãy số tăng nếu và chỉ nếu công sai d > 0 .

+ Cấp số cộng (vn) là một dãy số giảm nếu và chỉ nếu công sai d < 0 .

Xem thêm  Set Up là gì và cấu trúc cụm từ Set Up trong câu Tiếng Anh

3. Các dạng toán về số hạng tổng quát của cấp số cộng lớp 11

3.1. Dạng toán 1: Chứng minh một dãy là một cấp số cộng

* Phương pháp giải:

Để chứng minh một dãy số (vn) là một cấp số cộng, ta cần chứng minh vn+1 – vn = const, ∀n ∈ .

Câu 1: Chứng minh các dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:

a) -6; -2; 2; 6; 10.

b) .

ĐÁP ÁN

a) -6; -2; 2; 6; 10.

Xem thêm: Soạn bài Phát biểu theo chủ đề siêu ngắn | Ngữ văn lớp 12

Vì -2 = -6 + 4; 2 = -2 + 4;

6 = 2 + 4; 10 = 6 + 4

nên từ định nghĩa cấp số cộng, dãy số -6; -2; 2; 6; 10 là một cấp số cộng với công sai d = 4.

b) .

Vì -2 = ; ;

;

nên từ định nghĩa cấp số cộng, dãy số là một cấp số cộng với công sai d = .

Câu 2: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) Dãy số (vn), với vn = -3n – 2

b) Dãy số (an), với an =

c) Dãy số (bn), với bn = 2022n

ĐÁP ÁN

a) Dãy số (vn), với vn = -3n – 2

Ta có vn+1 = -3(n+1) – 2 = -3n – 5 nên vn+1 – v1 = (-3n – 5) – (-3n – 2) = -3, ∀n ∈ .

Do đó dãy số (vn) là một cấp số cộng với số hạng đầu v1 = -3.1 – 2 = -5 và công sai d = -3.

b) Dãy số (an), với an =

Ta có an+1 = = nên an+1 – a1 = – = , ∀n ∈ .

Do đó dãy số (an) là một cấp số cộng với số hạng đầu a1 = = 1 và công sai d = .

c) Dãy số (bn), với bn = 2022n

Ta có bn+1 = 2022n+1 = 2022.2022n nên bn+1 – bn = 2022.2022n – 2022n = 2021.2022n (kết quả chứa ẩn n và phụ thuộc vào giá trị của n). Suy ra dãy số (bn) không phải là một cấp số cộng.

3.2. Dạng toán 2: Cách tính số hạng tổng quát của cấp số cộng

* Phương pháp giải:

Ta áp dụng các công thức:

Xem thêm  Top 50 Phân tích Vội vàng (hay nhất) - VietJack.com

+ Công thức truy hồi: vn = vn-1 + d với n ≥ 2

+ Công thức số hạng tổng quát: vn = v1 + (n-1).d với n ≥ 2

⇒ v1 và d.

Câu 3: Cho cấp số cộng (vn) có v5 = 25 và v15 = 125. Số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là

A. vn = 10n + 25, ∀n ∈ .

B. vn = -15n + 10, ∀n ∈ .

C. vn = 10n – 10, ∀n ∈ .

D. vn = 10n – 25, ∀n ∈ .

ĐÁP ÁN

Xem thêm: [Khối D09, D10 gồm những ngành nào?] Danh sách các trường

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Ta áp dụng công thức vn = v1 + (n-1).d để phân tích v5 và v15

+ Bước 2: Ta lấy v15 – v5 ⇒ d ⇒ v1

+ Bước 3: Từ số hạng đầu v1 và công sai d, ta viết số hạng tổng quát.

Lời giải

Ta có: v5 = v1 + 4d = 25

v15 = v1 + 14d = 125

Ta lấy v15 – v5 = 100

⇔ 10d = 100

⇔ d = 10

Thay d = 10 vào v5 ta được 25 = v1 +4.10

⇔ v1 = -15

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là: vn = -15 + (n-1).10

⇔ vn = 10n – 25, ∀n ∈ .

Chọn đáp án D.

Câu 4: Biết , số hạng tổng quát của dãy số (vn) là

A. vn = , ∀n ∈ .

B. vn = , ∀n ∈ .

C. vn = , ∀n ∈ .

D. vn = , ∀n ∈ .

ĐÁP ÁN

Xem thêm: [Khối D09, D10 gồm những ngành nào?] Danh sách các trường

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Ta phân tích v5, v3, v2, v6 áp dụng công thức vn = v1 + (n-1).d

+ Bước 2: Ta rút gọn rồi giải hệ phương trình ẩn v1 và d ⇒ v1 và d

+ Bước 3: Từ số hạng đầu v1 và công sai d, ta viết số hạng tổng quát.

Lời giải

Ta có

Xem thêm: Thông tin tuyển sinh 2022 của Trường ĐH Công nghiệp Hà Nội

Vậy số hạng tổng quát là vn = + (n-1).

⇔ vn = , ∀n ∈ .

Chọn đáp án C.

Câu 5: Cho dãy số (vn) xác định bởi v1 = 1, vn+1 = , ∀n ∈ , tìm số hạng tổng quát của dãy (vn)?

A. vn =

B. vn =

C. vn =

D. vn =

ĐÁP ÁN

Xem thêm  8 Cách làm tròn số trong Excel đơn giản và nhanh nhất - Unica

Ta có: v2 = ; v3 = ; v4 = ; v5 = .

Dựa vào 5 số hạng đầu vừa tìm được, ta dự đoán vn = .

Bằng phương pháp quy nạp toán học đã được học ở bài trước, chúng ta chứng minh được vn = .

Chọn đáp án A.

Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là -5; 0; 5; 10; 15; … Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A. vn = 5n + 5

B. vn = 10n – 5

C. vn = 5n + 10

D. vn = 5n – 10

ĐÁP ÁN

Xem thêm: [Khối D09, D10 gồm những ngành nào?] Danh sách các trường

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Ta thấy số hạng đầu v1 = -5

+ Bước 2: Ta tính công sai dựa vào công thức d = v2 – v1

+ Bước 3: Từ số hạng đầu v1 và công sai d, ta viết số hạng tổng quát.

Lời giải

Ta có: v1 = -5; v2 = 0 ⇒ d = 0 – (-5) = 5

Số hạng tổng quát: vn = v1 + (n-1).d

⇔ vn = -5 + (n-1).5

⇔ vn = 5n -10

Chọn đáp án D.

Trên đây là toàn bộ nội dung về công thức, các bài toán liên quan đến số hạng tổng quát của cấp số cộng. Ngoài ra, VOH Giáo Dục còn đưa ra các bài tập ứng dụng và lời giải chi tiết. Hy vọng các bạn nắm chắc và học phần này được suôn sẻ.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Bản quyền nội dung thuộc wonderkidsmontessori.edu.vn

Bài viết liên quan

Tri Thức Cộng Đồng chuyên viết luận văn thạc sĩ tiếng Anh
Học Viện PMS – Đơn vị đào tạo 5S-Kaizen mang tính thực tiễn cao
Cách chỉnh độ rộng của dòng và cột trong word
Cách chỉnh độ rộng của dòng và cột trong word
Từ điển Thành ngữ Tiếng Việt – em ngã, chị nâng là gì?
Từ điển Thành ngữ Tiếng Việt – em ngã, chị nâng là gì?
Vật Lí 8 Bài 20: Nguyên tử, phân tử chuyển động hay đứng yên?
Vật Lí 8 Bài 20: Nguyên tử, phân tử chuyển động hay đứng yên?
Bảng chữ cái Tiếng Thái – Gia sư Tâm Tài Đức
Bảng chữ cái Tiếng Thái – Gia sư Tâm Tài Đức
Bộc trực là gì? 6 biểu hiện của người có tính bộc trực – CareerLink
Bộc trực là gì? 6 biểu hiện của người có tính bộc trực – CareerLink
Danh sách các trường THCS ở Hà Nội nên cho con học
Danh sách các trường THCS ở Hà Nội nên cho con học