[Có đáp án] Bài tập về hằng đẳng thức nâng cao (Lớp 8)

Những bài tập hằng đẳng thức nâng cao được tổng hợp dưới bài viết sẽ giúp các bạn học sinh luyện tập các dạng bài tập liên quan đến đơn thức với đa thức và phép nhân đa thức với đa thức. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 8!

Một số bài tập về hằng đẳng thức nâng cao

Bài 1: Sử dụng 7 hằng đẳng thức Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

• (2x + 1)²

• (2x + 3y)²

• (x + 1)(x – 1)

• m² – n²

• (5x + 3yz)²

• (yx – 3ab)²

• (x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)

• (9x + 3)²

• (xy + 2yz)²

Lời giải

• (2x+1)² = 4x²+ 4x +1

• (2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²

• (x+1)(x-1) = x²-1

• m² – n² = (m – n)(m + n)

• (5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²

• (yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²

• (x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x]xˆ4+27

• (9x+3)² = 81x² + 54x + 9

• (xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²

Hằng đẳng thức nâng cao

Bài 2: Sử Dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:

1. A=(x+y)² – (x-y)²

– Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy

– Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức A²-B = (A + B)(A – B)

A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy

1. B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²

– Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²

– Cách 2:

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²

Bài 3: Tính nhanh các biểu thức sau

1. 153² + 94.153 + 47²

2. Xem thêm: NaHCO3 có lưỡng tính không? Tính chất hóa học của NaHCO3

   126² – 126.152 + 5776

Lời giải:

1. 153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000

2. 126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²

Bài 4: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Bài 5: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 -2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Bài tập hằng đẳng thức

Bài 6: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Bài 7: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

Xem thêm: Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 68 Sách giáo khoa toán 8 tập 2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2×2 + 2y2

Xem thêm: Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 68 Sách giáo khoa toán 8 tập 2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4×2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Bài 8: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9×2+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9×2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Bài 10: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]

= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Xem thêm: Đô thị hoá là gì? Quá trình & những ảnh hưởng của đô thị hóa

c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2

= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2

= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)

= (a2 + b2)(c2 + d2)

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 11: Chứng tỏ rằng:

a, x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x

b, 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Lời giải:

a, Ta có: x2 – 6x + 10 = x2 – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)2 + 1

Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)2 + 1 > 0 mọi x

Vậy x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x.

b, Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)2 -1 ≤ 0 với mọi x

Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.

Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a, P = x2 – 2x + 5

b, Q = 2×2 – 6x

c, M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Lời giải:

a, Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

b, Ta có: Q = 2×2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 – 9/4 )

= 2[(x – 2/3 ) – 9/4 ] = 2(x – 2/3 )2 – 9/2

Vì (x – 2/3 )2 ≥ 0 nên 2(x – 2/3 )2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2/3 )2 – 9/2 ≥ – 9/2

Suy ra: Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x – 2/3 )2 = 0 ⇒ x = 2/3

Vậy Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .

c, Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)

= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4

Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2)2 ≥ 0

⇒ (y + 3)2 + (x – 12)2 + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0

⇒ y = -3 và (x – 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Hy vọng rằng với những ví dụ và các bài tập về hằng đẳng thức trên đây sẽ giúp cho bạn có một kiến thức nền vững chãi cho môn Toán nói chung và phần hằng đẳng thức nói riêng.