Bài 41 trang 128 Toán 9 Tập 1 - VietJack.com

Mời các bạn xem danh sách tổng hợp Bài 41 sgk toán 9 tập 1 trang 128 hot nhất được tổng hợp bởi Wonderkids

Ôn tập chương II

Video Bài 41 trang 128 SGK Toán 9 Tập 1 – Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 41 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Lời giải:

Có :

OI = OB – IB nên (I) tiếp xúc trong với (O)

OK = OC – KC nên (K) tiếp xúc trong với (O)

IK = IH + KH nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)

Theo đề bài, ta có:

HE ⊥ AB tại E

=> AEH^=90o

Xem thêm: Mẫu đơn đăng ký tham gia Ai là triệu phú chi tiết và mới nhất hiện nay

HK ⊥ AC tại F

=> AEH^=90o

Và BAC^=90o (do A thuộc đường tròn đường kính BC)

Xem thêm 1 sào bằng bao nhiêu mét vuông (m2)? Miền Nam, Miền Trung

Xét tứ giác AEHF có:

EAF^=AEH^=AFH^=90o

Do đó, tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AH2 = AE. AB

Xét tam giác ACH vuông tại H có HF là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AH2 = AF. AC

Do đó, AE. AB = AF. AC (vì cùng bằng AH2)

Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: ME = MF = MH = MA (do AEHF là hình chữ nhật)

Xét tam giác MEI và tam giác MHI có:

ME = MH

IE = IH (cùng bằng bán kính đường tròn (I))

Xem thêm: Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ lệ diện tích hai tam giác đồng dạng

MI chung

Do đó, tam giác MEI và tam giác MHI bằng nhau (theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh)

=> MEI^=MHI^

Mà AD vuông góc với BC tại H nên MHI^=90o⇒MEI^=90o

=> ME ⊥ EI tại E

Mà IE là bán kính đường tròn (I)

Do đó, ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Mặt khác ta lại có:

Xét tam giác MFH có:

MF = MH (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MFH cân tại M

=> MHF^=MFH^ (hai góc ở đáy) (1)

Xét tam giác KFH có:

KF = KH (cùng bằng bán kính đường tròn (K))

Do đó, tam giác KFH cân tại K

=> KHF^=KFH^ (hai góc ở đáy) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

MHF^+KHF^=MFH^+HFK^ => KFM^=MHK^=90o (do AH ⊥ BC tại H)

Xem thêm Thì tương lai đơn (Simple future tense )- Tổng hợp đầy đủ từ A - Z

=> MF ⊥ FK tại F

Xem thêm: Bảo Hân ‘Về nhà đi con’ lần đầu tiết lộ sự thật về gia đình

Mà KF là bán kính đường tròn (K) nên MF hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

Cách 1:

Do AEHF là hình chữ nhật nên ta có: EF = AH

Mà dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính nên nửa dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng bán kính nên ta có: AH ≤ AO.

Do đó, EF ≤ AO = R (với R là bán kính của đường tròn (O) luôn không đổi)

Dấu bằng xảy ra khi H trùng với O

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Cách 2: EF = AH = AD2.

Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD là đường kính.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Tham khảo lời giải các bài tập Toán 9 bài ôn tập chương II khác:

CÂU HỎI

Câu hỏi ôn tập chương 2 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 1): 1. Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác? … 2. Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác? …

Bài 41 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn (O) có đường kính BC,…
Bài 42 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại …
Bài 43 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau …

Xem thêm Soạn bài Chương trình địa phương phần Tiếng Việt - VietJack.com

Các bài giải Toán 9 Tập 1 Chương 2 khác: